Question

拜托了：已知函数f(x)=-x三次方+ax平方+bx+c在（-∞，0）上是减函数，

已知函数f(x)=-x三次方+ax平方+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点
（1）求b的值
（2）求f(2)的取值范围
（3）试探究直线y=x-1与函数y=f(x)的图像交点个数的情况，并说明理由

Answer 1

（1)∵f(x)=-x³+ax²+bx+c                                            

       ∴f'(x)=-3x²+2ax²+b

       ∵f(x)在（-∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数 

    当x=0时，f(x)取得极小值，即f'（x）=0

       ∴b=0

  (2)由（1）知f(x)=-x³+ax²+c

       ∵1是f(x)的一个零点

    即f(1)=0

       ∴c=1-a

    ∵f'(x)=-3x²+2ax=0

       ∴x1=0,x2=2a/3

       ∵f(x)在（0,1）上是增函数,且函数f(x)在R上有三个零点

     ∴x2=2a/3＞1,a＞3/2

       ∴f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7＞-5/2

  (3)由(2)知f(x)=-x³+ax²+1-a,且a＞3/2

       讨论两函数的交点

  联立 y=x-1

           y=-x³+ax²+1-a

         -x³+ax²+1-a=x-1

         （x³-1)-a(x²-1)+(x+1)=0

          (x-1)(x²+x+1)-a(x-1)(x+1)+(x-1)=0

          (x-1)[x²+x+1-a(x+1)+1]=0

          (x-1)[x²+x(1-a)+(2-a)]=0

          ∴x=1或x²+x(1-a)+(2-a)=0

          由x²+x(1-a)+(2-a)=0,得△=（1-a)²-4(2-a)=a²+2a-7 ∵a＞3/2         

           当△＜0，即 a²+2a-7＜0，解得3/2＜a＜2 √ 2-1，方程无实数解

      当△＝0，即  a²+2a-7=0，解得a= 2 √ 2-1,方程有一个实数解为2 √ 2-1 

          当△＞0，即  a²+2a-7＞0，解得a＞2 √ 2-1,方程有两解x1=[(a-1)-√(a²+2a-7)]/2，

      x2=[(a-1)+√(a²+2a-7)]/2        当a=2时，x1=0,x2=1

           综上，当3/2＜a＜2 √ 2-1时，两函数有一个交点

            当a=2 √ 2-1或a=2时，两函数有两个交点

            当a＞2 √ 2-1且a≠2时，两函数有三个交点（保持队形）

Answer 2

(1)由（-∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数得f'(0)=0　得b=0;
(2)因为有3个零点，所以f(1)=0,即a+c=1,又因为f'(x)=-3x^2+2ax=0,得一根为x=0,另一根为x=2a/3,要使得有三个零点，则2a/3>1,即a>3/2,所以f(2)=-8+4a+c=-8+3a+(a+c)=-7+3a>-5/2;所以
f(2)>-5/2;
(3)令f(x)=y,得－x^3+ax^2-x+c+1=0,令F（x）=－x^3+ax^2-x+c+1,则F'(x)=-3x^2+2ax-1,
令F'(x)=0,解得x=(-2a+根号（4a^2-12）),所以当x<1,则只有一个根，当x=1,有两个根，当x>1,E有三个根，根即是零点