Question

如图,点D,E是等边△ABC的BC,AC上的点,且CD=AE,AD,BE相交于P点,BQ⊥AD。

如图,点D,E是等边△ABC的BC,AC上的点,且CD=AE,AD,BE相交于P点,BQ⊥AD。已知PE=1，PQ=3，则AD=?

Answer 1

证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
AB=CA ∠BAE=∠C AE=CD ，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BQP=∠ABE+∠BAQ=60°，
又∵BP⊥AD，
∴在直角△BPQ中，∠QBP=30°，
∴BQ=2PQ．

Answer 2

∵ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°
在△BAE和△ADC中
AE=DC(已知）∠C=∠BAC（已证）AB=AC（已证）
∴△ABE≌△CAD(SAS)
∵∠PBD+∠BPD=∠ADC ∠PBD+∠C=∠BEA
又∵∠ADC =∠BEA
∴∠BPD=∠C=60°
∵BQ⊥AD
∴∠BQP=90°
∴∠PBQ=180°—∠BQP—∠BPD=30°
∴BP=2PQ(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）