Question

已知函数f(x)=x²+e^x-1/2（x<0）,g（x）=x²+ln（x+a）的图像上

Answer 1

∵f(x),
g(x)均非偶函数，
∴其关于y轴的对称点不可能在自身图像上，而只能在另一函数图像上
又∵f(x)的定义域为x<0，
∴g(x)图像上的点只能在x>0时才可能有对称点存在
假设函数g(x)上的某点横坐标为x，则其对称点横坐标为-x
由题对称意知，横坐标为-x的点在f(x)图像上
即有：f(-x)=(-x)²+e^(-x)-1/2=x²+ln(x+a)=g(x)
即
e^(-x)-1/2=ln(x+a)

(1)
对称点存在，即方程(1)有实数解存在
即方程两边的两个函数y1=e^(-x)-1/2和y2=ln(x+a)有交点
求导可得：y1'=-e^(-x),
y2'=1/(x+a)
易知，当x>0时，y1'<0恒成立，∴y1单调递减
又由g(x)定义域知，x+a>0恒成立，∴y2单调递增
当y2的最小值小于等于y1的最大值时，二者必有交点
易知，y1的最大值为y1(0)=e^0-1/2=1/2
y2的最小值为y2(0)=ln(0+a)=lna
∴y1与y2有交点时，必有
lna≤1/2，即a≤√e
∴a的取值范围是(-∞,√e]