Question

三角形ABC中，内角A.B.C成等差数列，其对边a.b.c满足2b的平方=3ac,求A

Answer 1

内角A.B.C成等差数列，所以A+C=2B
所以A+C=120,B=60°
又2b^2=3ac
a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以2sin²B=3sinAsinC
3/2=3sinAsinC
1/2=sinAsin（120°-A)
=sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)
=√3/2sinAcosA+1/2sin²A
所以，√3sinAcosA+sin²A=1
又sin²A+cos²A=1
所以cos²A=√3sinAcosA
所以√3sinA=cosA或cosA=0
又，sinA/cosA=√3/3
即tanA=√3/3
所以A=30°或90°

Answer 2

2B=A+C
A+C+B=180°
3B=180°
B=60°
A+C=120°
由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac
而2b²=3ac
∴2(a²+c²-ac)=3ac
a²+c²-5/2ac=0
(a-2c)(a-c/2)=0
a=2c或a=c/2
由正弦定理，a/c=sinA/sinC=sinA/sin(2π/3-A)=2或1/2
得A=90°或30°

Answer 3

解：∵A+B+C=180°，2B=A+C
∴B=60°
∵2b²=3ac
∴根据正弦定理有
2sin²B=3sinAsinC
2sin²60°=3sinAsin（120°-A)
3/2=3sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)
1/2=√3/2sinAcosA+1/2sin²A
1/2-1/2sin²A=√3/2sinAcosA
cos²A=√3sinAcosA
cosA(cosA-√3sinA)=0
∴cosA=0或tanA=√3/3
∴A=90°或30°
答；A=90°或30°

Answer 4

A+B+C=3B=180 B=60
(a^2+c^2-b^2)/2ac=cosB=1/2 a^2+c^2-b^2=ac (1) 2b^2=3ac b^2=3ac/2(2) 代入(1)
得2a^2-5ac+2c^2=0 a=2c或a=c/2
当a=2c时，代入(2) b^2=3c^2 b=V3c b^2+c^2=3c^2+c^2=4c^2=a^2 A=90
当a=c/2时，代入(2) b^2=3c^2/2 b=V3c/2 a^2+b^2=c^2/4+3c^2/4=c^2 B=60 so a=30

Answer 5

三个内角和=180
A-B=B-C。A=2B-C
2B-C+B+C=180
B=60

2b^2=3ac