Question

等价无穷小替换 x趋于0时ln[x+√（1+x^2)]的等价无穷小 ln[x+√1+x^2)]=ln

等价无穷小替换
x趋于0时ln[x+√（1+x^2)]的等价无穷小
ln[x+√1+x^2)]=ln[1+x+√（1+x^2）-1]~x+√（1+x^2)-1~x. (x趋于0）
其中√（1+x^2)-1~1/2(x)^2.
为什么x+1/2(x)^2~x怎么来的

Answer 1

具体解题过程如下：

(√(1+x^2)-1)/(1/2)(x)^2)

分子有理化得：(√(1+x^2)-1)/(1/2)(x)^2) 

=x^2/((1/2)(x)^2)(√(1+x^2)+1))→1

所以：√（1+x^2)-1~1/2(x)^2

（x+1/2(x)^2)/x.=1+x/2→1

所以：x+1/2(x)^2~x

等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

Answer 2

先看：(√(1+x^2)-1)/(1/2)(x)^2)

分子有理化得：(√(1+x^2)-1)/(1/2)(x)^2)

=x^2/((1/2)(x)^2)(√(1+x^2)+1))→1，所以：√（1+x^2)-1~1/2(x)^2

（x+1/2(x)^2)/x.=1+x/2→1, 所以：x+1/2(x)^2~x

求极限基本方法有

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 3

x 〉 ln[x+√（1+x^2) 〉ln（x+1），
各自除以x得
1 〉ln[x+√（1+x^2)] /x〉 ln（x+1）/x
lim1=1，lim ln（x+1）/x=1，夹逼准则得lim ln[x+√（1+x^2)] /x=1

Answer 4

先看：(√(1+x^2)-1)/(1/2)(x)^2)
分子有理化得：(√(1+x^2)-1)/(1/2)(x)^2)
=x^2/((1/2)(x)^2)(√(1+x^2)+1))→1，所以：√（1+x^2)-1~1/2(x)^2
（x+1/2(x)^2)/x.=1+x/2→1, 所以：x+1/2(x)^2~x