Question

齐次线性方程组仅有零解的充要条件是矩阵的秩小于n吗

Answer 1

齐次线性方程组仅有零解的充要条件是矩阵的秩等于n。

齐次线性方程组仅有零解的充要条件是其系数矩阵的秩等于未知数的个数。当m等于n时候，方程只有零解，用克拉默法则。

此时方正A不等于0，也就是秩等于n，这里n可以看成未知数，m看成方程的个数，当m＜n，方程一定有非零解，当m＞n就要讨论秩的问题，当秩小于n一定有非零解，当秩等于n只有零解。

证明

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

以上内容参考：百度百科-齐次线性方程组

Answer 2

你可以尝试把方程组写出来～
系数矩阵a的行，即代表方程组中方程的个数，行线性无关就是有m个方程～
列的个数为所求变量的个数～～
只有零解的充要条件请查一下克拉默法则～
给的是齐次线性方程组，只有零解，应该要求｜a｜≠0
仔细查看了一下高等代数的书，矩阵秩的定义核实一下：行秩=列秩=（定义为）矩阵的秩～
如果a的行秩<n,那么方程有非零解～
如果行秩<n，方程个数小于自变量个数，则必有非零解，原因是有自变量不可确定！！
又行秩与列秩相等，故只需要求行满秩，即可～//此时克拉默法则说明方程只有唯一解，而此题中0（向量表示）正为其解～～
另外，问题补充：a是线性相关
这个说法感觉不太正确～～线性相关是针对一组向量而言的，比如a的行向量～～有m个（本题）
直接说一个矩阵是线性相关的，不知是？……～～
哎～～加点分吧。。。

Answer 3

齐次线性方程组仅有零解的充要条件是矩阵的秩等于n

Answer 4

齐次线性方程组仅有零解的充要条件是其系数矩阵的秩等于未知数的个数。
或者说：n元齐次线性方程组仅有零解的充要条件是其系数矩阵的秩等于n应该是