Question

裂项求和法的原理是？

比如1+1/1*2+1/2*3
=1+(1-1/2)+(1/2-1/3） 分母好像是因为和等差数列有关系，怎么回事？

Answer 1

通过观察可知2-1=1，3-2=1，4-3=1……即分母所拆成的2个因数差与分子相同，因此分数可整理成如下的过程
1/1×2=（2-1）/1×2=2/1×2-1/1×2=1-1/2，
1/2×3=（3-2）/2×3=3/2×3-2/2×3=1/2-1/3，
1/3×4=（4-3）/3×4=4/3×4-3/3×4=1/3-1/4，……
希望你能看明白，根据分数的运算法则，同分母分数相减，分母不变分子相减，把过程反过来就是上面的推理，然后再约分即可。
当然可以看出，如果是2/3×5裂项，可以按照同样的思路2=5-3：
2/3×5=（5-3）/3×5=5/3×5-3/3×5=1/3-1/5
3/8×11=（11-8）/8×11=11/8×11-8/8×11=1/8-1/11
因此若分子等于分母所拆成的两个因数差，就都可以按照这样的方式裂项，即
d/n（n+d）=1/n-1/n+d
如果不相同呢，我们也可以进行一定的转化，如1/1×3，此时3-1≠1，不能直接裂项，但是我们可以求出2/1×3=1-1/3，很明显，1/1×3是2/1×3的1/2，故1/1×3=1/2×（1-1/3）。同样的，再举一个例子，如果是4/5×11，此时11-5≠4，也可先求出6/5×11=1/5-1/11，那么4/5×11是6/5×11的2/3，因此4/5×11=2/3×（1/5-1/11）。
因此我们可以总结一下，对于任意的一个分数b/n（n+a）=b/a×【1/n-1/（n+a）】
个人想法，如若不太清楚，可留言，我们再讨论

Answer 2

列项求和的目的在于减少计算量。
分母不一定是等差数列的，主要是拆分后，可以将一些项消掉，只剩少数项。计算会变得简化很多。

Answer 3

1/n-1/(n+1)=1/n(n+1)