Question

已知向量a=（sinx,-cosx)向量b=(cosx,根号3cosx),函数f(x)=a*b+（根号3）/2

（1）求函数的最小正周期，并求起图像对称中心的坐标
（2）当0≤x≤π/2时，求函数的值域

Answer 1

已知向量a=（sinx,-cosx)，向量b=(cosx,(√3)cosx),函数f(x)=a•b+((√3）/23)/2；（1）求函数的最小正周期，并求起图像对称中心的坐标；（2）当0≤x≤π/2时，求函数的值域.
解：(1) f(x)=a•b=sinxcosx-(√3)cos²x+(√3)/2=(1/2)sin2x-(√3)(1+cos2x)/2+(√3)/2
=(1/2)sin2x-(√3/2)cos2x=sin2xcos(π/3)-cos2xsin(π/3)=sin(2x-π/3)
故最小正周期T=π；对称中心：令2x-π/3=kπ，x=π/6+kπ/2=π/6+kπ/2，故全部对称中心的的坐标为(π/6+kπ/2，0)。
(2).当0≤x≤π/2时，minf(x)=f(0)=sin(-π/3)=；maxf(x)=f(5π/12)=sin(5π/6-π/3)=sin(π/2)=1
即在0≤x≤π/2时f(x)的值域为[-√3/2，1]。

Answer 2

f(x)=a*b+√3/2=sinxcosx-√3(cosx)^2+√3/2=1/2sin2x-√3/2cos2x=sin(2x-π/3).
(1)令2x-π/3=2kπ(k∈z,k为整数),则x=kπ+π/6,再令2x-π/3=kπ,则x=kπ/2+π/6.所以函数的最小正周期是x=kπ+π/6,图像对称中心的坐标是(kπ/2+π/6,0)
(2)当0≤x≤π/2时，-π/3≤2x-π/3≤2π/3。因为sinx在[-π/3,π/2]上单调递增，在(π/2,2π/3]上单调递减，且sin(-π/3)<sin2π/3，所以f(x)的最大值=sinπ/2=1,f(x)的最小值=sin(-π/3)=-√3/2，所以函数的值域为[-√3/2,1]
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