Question

简单的大学物理问题，刚体定轴转动相关~

一根长为L，质量为M的均匀细直棒在地上竖立着。如果让竖立着的棒，以下端与地面接触处为轴倒下，当上端达地面时速率应为？
为什么转动惯量那里要乘三分之一呢？怎么算得？

Answer 1

转动惯量以棒左端为轴为原点，线密度为n，则转动惯量微元是dJ=r^2dm=(r^2)ndx=n(x^2)dx
那么转动惯量是n(x^2)dx从0积分积到L。即(1/3)n(L^3)=(1/3)M(L^2)
根据机械能守恒
mgL/2+0=(1/2)((1/3)ML^2)(omega)^2
omega=sqrt(3g/L)
速度v=omega*r=sqrt(3gL)

Answer 2

转动惯量J=(1/3)ML^2
机械能守恒
减少的重力势能Mg(L/2)=增加的动能(1/2)Jw^2=(1/2)[(1/3)ML^2]w^2
角速度w=根号(3g/L)
上端达地面时速率v=wL=根号(3gL)

Answer 3

先用角速度w,还有它的转动惯量J=ML(2)/3，由能量守恒，MgL/2=Jw(2)/2，就可以求出来角速度w，那么上端的速率是v=wL,答案是v=根号下（3gL）
符号（2）表示平方。

追问

为什么转动惯量那里要乘三分之一呢？怎么算得？