Question

过椭圆2x^2+y^2=2的焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，求△ABO（O为原点）的面积的最大值。

Answer 1

（√2）/2
建议先画个图

由题意设F坐标为（0,1）A（x1,y1）B（x2,y2）x1<x2
因为△ABO=△AFO+△BFO,OF=1
△AFO面积=(1/2)*OF*(x1绝对值)=(1/2)*(x1绝对值)
△BFO面积=(1/2)*OF*(x2绝对值)=(1/2)*(x2绝对值)
所以△ABO面积=(1/2)*(x1绝对值+x2绝对值)

显然x1<0,x2>0（自己画个图就知道了）
所以△ABO=(1/2)*(x2-x1)

设直线L方程为y=kx+1（因为若直线垂直x轴则△ABO无面积，故可以这样设）
代入2x^2+y^2=2得到(k^2+2)x^2+2kx-1=0
x1、x2是其两个根

由维达定理x1+x2=(-2k)/(k^2+2),x1*x2=(-1)/(k^2+2)
因此x2-x1=√((x1+x2)^2-4*x1*x2)
=√((8k^2+8)/(k^2+2)^2)
设t=k^2+1,则t>=1
则x2-x1=√(8t/(t^2+2t+1))
=√(8/(t+2+1/t))
因为t+1/t>=2（当且仅当t=1即k=0时取到），代入上式
因此x2-x1<=√2（当且仅当k=0取到）
因此△ABO面积<=√2/2（k=0，即L平行于x轴）

还有不明白吗？

Answer 2

因为F坐标为（0，1）
设直线方程为 y-1=kx ①
椭圆方程为 2x²+y²=2 ②
消去 y 得 （k²+2)x²+2kx-1=0
由韦达定理 x1+x2=-2k/k²+2
x1*x2=-1/k²+2
原点到线段AB距离为d=1/√k²+1
S△AOB=1/2*d*|AB|=1/2*1/√k²+1*√k²+1*|x1-x2|=1/2*√（x1+x2)²-4x1x2=1/2*√4k²/(k²+2)²+4/k²+2=1/2*√8k²+8/k²+2=1/2*√8*1*（k²+1)/k²+2 ≤ 1/2*√8*（k²+2)/2(k²+2)=1/2*√8/2=√2/2
故 S△AOBmax=√2/2