Question

平行四边形ABCD中,BE,CF分别是∠ABC和∠BCD的角平分线,BE,CF相交于点O。

1）求证BE⊥CF
（2）试判断AF与DE有何数量关系？并说明理由
（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？
（希望有详细过程，各位聪明的人）

Answer 1

（1）证明： 因为 四边形ABCD是平行四边形，
所以 角ABC+角BCD=180度，
因为 BE、CF分别是角ABC、角BCD的平分线，
所以 角OBC=角ABC/2，角OCB=角 BCD/2，
所以 角OBC+角OCB=90度，
所以 角BOC=90度，
所以 BE垂直于CF。
（2）AF=DE。
理由是： 因为 四边形ABCD是平行四边形，
所以 AD//BC，AB=DC，
所以 角AEB=角EBC，角DFC=角FCB，
因为 BE、CF分别是角ABC和角BCD的角平分线，
所以 角ABE=角EBC，角DCF=角FCB，
所以 角AEB=角ABE，角DFC=角DCF，
所以 AE=AB，DF=DC，
因为 AB=DC，
所以 AE=DF，
所以 AF=DE。
（3）当三角形BOC是等腰直角三角形时，四边形ABCD是矩形。
因为 此时角OBC=45度，角ABC=90度了。