Question

初二数学问题，求解答。

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)． P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．
(1)当b＝3时，
①求直线AB的解析式；
②若点P'的坐标是(-1，m)，求m的值；
(2)若点P在第一象限，记直线AB与P'C的交点为D． 当P'D：DC=1：3时，求a的值；
(3)是否同时存在a，b，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)(3/4)x+b=y，这个会么，斜率为3/4,
(2)因为P'为(-1,m)，所以P就为(1,m)，带入方程得m=15/4
(3)因为P'D∶DC＝1∶3，所以PP':AC=1:3，这个懂么？因为PP'和x轴是平行的。
所以2α*3=4+α，所以α=4/5
(4)这个不是a和b吧，是α和b吧
当α=4/3的时候是等腰。b可以为任何数
解释啊：P'是P的对称点么，我们设C’是C的对称点，所以P‘C'垂直x轴，若想P'AC为等腰，AC'必和CC'相等，等腰的性质，自己想想
因为CC'=2α，所以AC'=2α，所以AO=3α=4，α=4/3，只要α=4/3就可以满足等腰，b为任意值
哦不对，b不能为零，这个就不是三角了。
答案是α=4/3，b不为0

Answer 2

根据A（－4，0），B（0，b）两点可得直线方程式为：
y=(b/4)x+b（式1）。
（1）当b=3，代入上式（式1）有
①y=3x/4+3
②若点P'的坐标是(-1，m)，则有P(1，m)，将x=1代入（式1），有：
y=3/4+3=15/4=3.75
（2）由于PP'=2a，△ADC与△PDP'为相似三角形，所以，
PP'/AC=P'D/DC=1/3，又AC＝4+a，即2a/(4+a)=1/3，可求得a=4/5=0.8。
（3）假设存在等腰直角三角形P'CA为，则
①因P'在X轴负轴，所以∠P'CA不可能为90度
②设∠P'AC=90°，则AP'=AC=4+a
又AP'=y(P)=bx/4+b=ba/4+b
因此可得：4+a=ba/4+b，b=4(a>0)
又P'A⊥AC，应有P'（－4，y），故a=4。
此时P（4，8），P'（－4，8），B（0，4）满足条件要求，即a=b=4。
③设∠AP'C=90°，则AC=2PC，作P'C‘⊥AC交AC于C'。
又AC＝4+a，P'C'=PC=y(P)=bx/4+b=ba/4+b=b(a+4)/4
即4+a=2（b(a+4)/4），可得b=2
则PC＝（a+4）/2
又P‘C’＝AC’＝4-a=PC=(a+4)/2
可求得a=4/3
此时P（4/3，8/3），P'（-4/3，8/3），B（0，2）满足条件要求，即a=4/3,b=2。
综上所述，当a=b=4，或a=4/3，b=2时，三角形P'CA为等腰直角三角形。
证明完毕。

Answer 3

本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．（未经同意，禁止转载！）