Question

如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形

1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．
①如图1，求证：△ABE≌△ADC；
②探究：如图1，∠BOC=120°
120°
；
如图2，∠BOC=90°
90°
；
如图3，∠BOC=72°
72°
；
（2）如图4，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O．
①猜想：如图4，∠BOC=360÷n（用含n的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．

Answer 1

（1）
①由题意可知AB=AD，AE=AC，
∠CAE=∠BAD=60°→∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD=∠CAD
所以△ABE≌△ADC（两边夹一角）
②在图1中，△ABE≌△ADC→∠ABE=∠ADC，∠AEB=∠ACD
正三角形内角=60°→∠BAC+∠ABE+∠AEB=180°-60°=120°→∠BAC+∠ABE+∠ACD=120°
∠OBC+∠OCB=180°-(∠BAC+∠ABE+∠AEB)=60°→∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=120°
同理可证：
在图2中正四边形内角=90°→∠DOE=90°→∠BOC=90°
在图3中正五边形内角=108°→∠DOE=72°→∠BOC=72°
（2）△ABE≌△ADC→∠ABE=∠ADC
在四边形ABED中
∠BAD+∠ABE+∠BED+∠ADE=360°→∠BAD+∠ADC+∠BED+∠ADE=360°
→∠BAD+∠BED+∠CDE=360°→∠BAD+(∠BOC+∠ODE)+(∠BOC+∠OED)=360°
→∠BAD+2∠BOC+(∠ODE+∠OED)=360°→∠BAD+2∠BOC+(180°-∠BOC)=360°
→∠BAD+∠BOC=180°→∠BOC=180°-∠BAD
正n边形内角=180°-360°/n=∠BAD→∠BOC=180°-(180°-360°/n)=360°/n

Answer 2

（1）
①由题意可知AB=AD，AE=AC，
∠CAE=∠BAD=60°→∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD=∠CAD
所以△ABE≌△ADC（两边夹一角）
②在图1中，△ABE≌△ADC→∠ABE=∠ADC，∠AEB=∠ACD
正三角形内角=60°→∠BAC+∠ABE+∠AEB=180°-60°=120°→∠BAC+∠ABE+∠ACD=120°
∠OBC+∠OCB=180°-(∠BAC+∠ABE+∠AEB)=60°→∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=120°
同理可证：
在图2中正四边形内角=90°→∠DOE=90°→∠BOC=90°
在图3中正五边形内角=108°→∠DOE=72°→∠BOC=72°
（2）△ABE≌△ADC→∠ABE=∠ADC
在四边形ABED中
∠BAD+∠ABE+∠BED+∠ADE=360°→∠BAD+∠ADC+∠BED+∠ADE=360°
→∠BAD+∠BED+∠CDE=360°→∠BAD+(∠BOC+∠ODE)+(∠BOC+∠OED)=360°
→∠BAD+2∠BOC+(∠ODE+∠OED)=360°→∠BAD+2∠BOC+(180°-∠BOC)=360°
→∠BAD+∠BOC=180°→∠BOC=180°-∠BAD
正n边形内角=180°-360°/n=∠BAD→∠BOC=180°-(180°-360°/n)=360°/n