Question

问题:高中数学问题：已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1 描述:(1)讨论f(x)的单调性。

问题:高中数学问题：已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1
描述:(1)讨论f(x)的单调性。(2)设a＜-1，如果对任意x1,x2∈(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围。—要详解！！ 在线等！！高分 谢谢~

Answer 1

（1）f(x)=（a+1)lnx+ax^2+1
得到定义域：x>0
求导：f’(x)=(a+1)/ x+2ax
当a≥0时，f’(x) >0,则f(x)单调递增
当a≤-1时，f’(x) <0，则f(x)单调递减
当-1<a<0时：
设g(x)=xf’(x)=2ax^2+a+1,
∵x>0;∴g(x)和f’(x)同号。
此时当x≥√(-(a+1)/2a)时，g(x)≥0，则f’(x)≥0，那么f(x)单调递增
此时当0<x<√(-(a+1)/2a)时，g(x)<0，则f’(x)<0，那么f(x)单调递减.
（2）- f’(x)= -(a+1)/ x-2ax≥2√(2a(a+1))
∵a≤-2
∴2√(2a(a+1)) ≥4
又∵a≤-2
∴f’(x)<0; - f’(x)>0; - f’(x)=| f’(x)|
从而得到：| f’(x)| ≥4
由拉格朗日中值定理得到：
在（x1,x2）之间存在一点ξ，成立式子：
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|=|f’(ξ)|
因为任意x有| f’(x)| ≥4，那么就有| f’(ξ)| ≥4
所以得到：
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|≥4
也就得证：
|f(x1)-f(x2)| ≥4|x1-x2|；

Answer 2

高中题目不想看了。

Answer 3

（1）求导会吧，x>0然后再讨论a，应该不难，就一步步来。点（a+1）/2a是关键点，不要搞错
（2）设x1>x2，由上一问得，这种条件下是递减的函数，所以f(x1)-f(x2)小于等于-4（x1-x2），然后把数带进去，组成一个不等式，x1的在一边，x2的在小于等于号的一边，你会发现两边是一样的形式，就是说你组成了新的函数，在讨论这个函数的单调性必须是递减的（原因是前面你设的），基于这个条件你会算出a的取值范围。答案是不是a<-1啊？

Answer 4

(1)f'(x)=(a+1)/x+2ax时 当令g(x)=f'(x) g'(x)=-(a+1)/x^2
a. 当a+1>=0 g'(x)<0 g(x)单调递减 令g(x0)=0 x0^2=-(a+1)/2a 要使x有解,则 (a+1)/2a<=0 又a+1>=0 所以2a<0 解得 -1<a<0 x0^2=-(a+1)/2a =-1/2-1/a>3/2 sqr(x0)>1 当x>x0,g(x)<=g(x0)=0 所以在0<x0<1且1<x<srq(x0)=sqr(-(1+a)/2a))时f(x) 单调增 在x>xo f(x) 减
b.当a+1<=0 即a<-1 g'(x)>0 g(x) 增 根据a的取值范围得0<x0<sqr(3/2) 令x0<1时，有a>-2 当x>x0 g(x)>g(x0)=0 0<x<x0 f(x) 减 x0<x<1和x>0 f(x)减 同理 令x0>1 有a<-2 0<x<x0和x0<x<1 f(x)减 x>x0 f(x)增 结果你自己整理一下，分类讨论，求到二阶导，用二阶导判断一阶导的增减性，再把一阶导零点找到，用一阶导增减性判定符号，从而在判定原函数的增减性，此题a的取值直接影响结果判定，对a要分类讨论
(2)根据（1）的结果，当a<-1 还得要分类讨论
当时-1<a<-2时，第二问我暂时不会