Question

已知α∈[5π/2,7π/2],则化简√(1+sin α)+√(1-sin α)的值为

A.-2cos(α/2) B.2cos(α/2)
C.-2sin(α/2) D.2sin(α/2)

Answer 1

解
可设原式为
x=√(1+sina)+√(1-sina).
易知,x＞0.
上式两边平方,可得:
x²=2+2√[(1+sina)(1-sina)]
=2+2√(1-sin²a)
=2+2√(cosa)²
=2+2|cosa|
=2-2cosa (由题设可知, cosa＜0)
=2(1-cosa)
=4sin²(a/2)
∴x=2|sin(a/2)|=-2sin(a/2)
选C

追问

=4sin²(a/2)
这一步是肿麽得到的啊

追答

半角公式
cos2x=1-2sin²x
∴2sin²x=1-cos2x
在这里,就是
cosa=1-2sin²(a/2)
∴1-cosa=2sin²(a/2)

Answer 2

α∈[5π/2,7π/2]
α/2∈[5π/4,7π/4]
sin(α/2)<0且sin(α/2)<cos(α/2)
原式=|sin(α/2)+cos(α/2)|+|sin(α/2)-cos(α/2)|
=-sin(α/2)-cos(α/2)-sin(α/2)+cos(α/2)
=-2sin(α/2)
选C

追问

晕了@ 原式=|sin(α/2)+cos(α/2)|+|sin(α/2)-cos(α/2)| 肿麽回事？

追答

1+sinα=[sin(α/2)]^2+[cos(α/2)]^2+2sin(α/2)cos(α/2)=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2
1-sinα=[sin(α/2)]^2+[cos(α/2)]^2-2sin(α/2)cos(α/2)=[sin(α/2)-cos(α/2)]^2
所以√(1+sinα)=√[sin(α/2)+cos(α/2)]^2=|sin(α/2)+cos(α/2)|
√(1-sinα)=√[sin(α/2)-cos(α/2)]^2=|sin(α/2)-cos(α/2)|

Answer 3

答案选C。
先说几个常用变换：
1=[sin(α/2)]^2+[cos(α/2)]^2
sin α=2sin(α/2)cos(α/2)
此外，对于已知条件α∈[5π/2,7π/2],则α/2∈[5π/4,7π/4],画出图形很容易可以看出cos(α/2)
>sin(α/2)，且cos(α/2)+sin(α/2)<0
下面开始解题：
原式=√{[sin(α/2)]^2+[cos(α/2)]^2+2sin(α/2)cos(α/2)}+√{[sin(α/2)]^2+[cos(α/2)]^2-2sin(α/2)cos(α/2)}
=√{[cos(α/2)+sin(α/2)]^2}^(1/2)+√{[cos(α/2)-sin(α/2)]^2}^(1/2)
=|sin(α/2)+cos(α/2)|+|sin(α/2)-cos(α/2)|
由于cos(α/2)>sin(α/2)，且cos(α/2)+sin(α/2)<0
故原式=-[sin(α/2)+cos(α/2)]+[cos(α/2)-sin(α/2)]
=-2sin(α/2)
答案选C。

希望能够帮到你~