Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2处取得极值． （Ⅰ）若c=-a2，且|x1-x2|=2，求b的最大...

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2处取得极值．
（Ⅰ）若c=-a2，且|x1-x2|=2，求b的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）+x，若0＜x1＜x3＜
1/3a，且x∈（0，x1），证明：x＜g（x）＜x1

Answer 1

解：（1）函数f（x）=ln（x+a）-x2-x
f′（x）=1x+a-2x-1 …（1分）
当x=0时，f（x）取得极值，
∴f′（0）=0 …（2分）
故10+a-2×0-1=0解得a=1，经检验a=1符合题意．…（3分）
（2）由a=1知f（x）=ln（x+1）-x2-x
由f（x）=-52x+b，得ln（x+1）-x2+32x-b=0
令φ（x）=ln（x+1）-x2+32x-b，
则f（x）=-52x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x）=0
在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．…（4分）
φ′（x）=1x+1-2x+32=-(4x+5)(x-1)2(x+1)，…（5分）
当x∈[0，1]时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在{0，1）上单调递增；
当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，
依题意有φ（0）=-b≤0，
φ（1）=ln（1+1）-1+32-b＞0，
φ（2）=ln（1+2）-4+3-b≤0
解得，ln3-1≤b＜ln2+12； …（9分）
（3）f（x）=ln（x+1）-x2-x
的定义域为{x|x＞-1}，由（1）知
f（x）=-x(2x+3)x+1，
令f′（x）=0得，x=0或x=-32（舍去），
∴当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）-x2-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）…（11分）
对任意正整数n，取x=1n＞0得，ln（1n+1）＜1n+1n2 …（12分）
∴ln（n+1n）＜n+1n2
故2+34+49+…+n+1n2＞ln2+ln32+ln43+…+lnn+1n=ln（n+1）．…（14分）

Answer 2

dxsdcxds