Question

高等代数计算题：设σ是数域F上向量空间V的线性变换.σ关于基a1,a2,a3的矩阵是A= 1 3 -2 1 2 -1 2 2 1

求σ关于基b1=2a1+a2+3a3, b2=a1+a2+2a3,b3=a1+a2+a3 的矩阵
设向量ξ=2a1-a2-a3，求σ(ξ）关于基b1,b2,b3的坐标

求过程

Answer 1

解: 由已知, σ(a1,a2,a3)=(a1,a2,a3)A.
而 (b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)K
K =
2 1 1
1 1 1
3 2 1
所以 σ(b1,b2,b3)=σ(a1,a2,a3)K=(a1,a2,a3)AK=(b1,b2,b3)K^-1AK.
所以σ关于基b1,b2,b3的矩阵为 K^-1AK=
-2 -1 0
12 7 3
-9 -5 -1

ξ=2a1-a2-a3=(a1,a2,a3)(2,-1,-1)^T
σ(ξ)=σ(a1,a2,a3)(2,-1,-1)^T=(a1,a2,a3)A(2,-1,-1)^T
=(b1,b2,b3)K^-1A(2,-1,-1)^T.

所以σ(ξ)关于基b1,b2,b3的坐标为
K^-1A(2,-1,-1)^T=(0,0,1)^T.