Question

高中数学向量题一道

点M、N分别在三角形ABC的边AB、AC上，且AM/AB=1/3，AN/AC=1/4，BN与CM交与点P，设向量AB=向量a，向量AC=向量b（之后向量只用字母a、b表示），若向量AP=xa+yb（x,y属于R），则x=?,y=?

过程尽量详细，清楚。谢谢！！

Answer 1

这类向量，问题主要在P点用两次三点共线，一楼也是。

Answer 2

设BP=xBN,CP=yCM
AC+CP=AP=AB+BP

AC+CP= AC+ yCM
= AC+y(CA+AM)
=b+y(-b+1/3a)
=y/3a+(1-y)b.

AB+BP=AB+x（BA+AN)
= a+x(-a+1/4b)
=(1-x)a+x/4b.

所以y/3a+(1-y)b=(1-x)a+x/4b.

所以y/3=1-x，且1-y= x/4，
解得
x=8/11
y=9/11
∴向量AP=AB+BP=a+8/11(-a+1/4b)=3/11向量a+2/11向量b

Answer 3

（以下向量均用字母表示）
NB=AB+NA = a+1/4b
设NP=nNB=n(a+1/4b)
AP=AN+NP=1/4b+n(a+1/4b)=na+(1/4+1/4n)b
MC=MA+AC=1/3a+b
设MP=mMC=m(1/3a+b)
AP=AM+MP=(1/3+1/3m)a+mb
即n=1/3+1/3m m=1/4+1/4n
解得n=5/11 m=4/11
则AP=5/11a+4/11b
所以x=5/11 y=4/11