Question

函数连续满足的三个条件

为什么前有定义:设函数f(x)在点x)0的某邻域内有定义，如果lim(x->x0)=f(x0)，则称函数f(x)在x0处连续;后说f(x)在x0处连续必然满足三个条件:f(x)在x0处有定义;lim(x->x0)f(x)存在;lim(x->x0)f(x)=f(x0)。为什么会多个第二个的条件呢？思维有点混乱…

Answer 1

其实这两种说法是等价的。
　　条件：lim(x->x0)f(x)=f(x0) 是两种说法都有的。其实这句话本身就意味着：
① f(x) 在 x0 处有极限；
② x0 处的极限与 x0 处的函数值相等；
　　另外，① 本身还意味着：
③ f(x) 在 x0 的去心邻域内有定义；
　　而 ② 本身也则意味着：
④ f(x) 在 x0 处有定义；

　　其实，既然 lim(x->x0)f(x)=f(x0) 这个等式都成立了，那么“存在性”和“有定义”就都是不言而喻的了。你不要太纠结于这些条件的说法，而是要明白连续性的真正含义。

　当然，说法二也不是随便提出的。因为，这 3 个条件是具有一定独立性的——虽然不是完全独立（条件三蕴含条件一、二）。也就是说，它们可能有部分不成立，而导致函数不具有连续性。比如满足条件一、不满足二；满足一、二，不满足三；……
　　所以，说法二提出这 3 个条件的真正意义在于：这 3 个条件恰好对应函数不连续的 3 种原因：
（1）x0 处无定义；
（2）x0 处无极限；
（3）x0 处，极限值不等于函数值；