Question

求 ∫1/[(x^2+1)*(x^2+x+1)] dx 答案各式各样，到底是哪个

Answer 1

解：设1/（x^2+x+1)(x^2+1)=(Ax+B)/(x^2+x+1)+(CX+D)/(x^2+1),

用待定系数法，求出分子各项系数，

x^3((A+C)+x^2(B+C)+x(A+C+D)+(B+D)=1,

A+C=0,B+C=0,A+C+D=0，B+D=1，

A=1，B=1，C=-1，D=0，

∴原式=∫（x+1)dx/(x^2+x+1)-∫xdx/(x^2+1)

=（1/2）∫（x^2+x+1)/(x^2+x+1)+(1/2)∫dx/(x^2+x+1)-（1/2）∫d(x^2+1)/(x^2+1)

=(1/2)ln(x^2+x+1)+(1/2)(√3/2）(4/3)∫d[x+1/2）*2/√3]/{[2（x+1/2)/√3]^2+1}-(1/2)ln(1+x^2)

=(1/2)ln(x^2+x+1)+（√3/3）arctan[(2x+1)/√3]-(1/2)ln(1+x^2)+C.

拓展资料：

待定系数法， 一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

Answer 2

设1/（x^2+x+1)(x^2+1)=(Ax+B)/(x^2+x+1)+(CX+D)/(x^2+1),
用待定系数法，求出分子各项系数，
x^3((A+C)+x^2(B+C)+x(A+C+D)+(B+D)=1,
A+C=0,B+C=0,A+C+D=0，B+D=1，
A=1，B=1，C=-1，D=0，
∴原式=∫（x+1)dx/(x^2+x+1)-∫xdx/(x^2+1)
=（1/2）∫（x^2+x+1)/(x^2+x+1)+(1/2)∫dx/(x^2+x+1)-（1/2）∫d(x^2+1)/(x^2+1)
=(1/2)ln(x^2+x+1)+(1/2)(√3/2）(4/3)∫d[x+1/2）*2/√3]/{[2（x+1/2)/√3]^2+1}-(1/2)ln(1+x^2)
=(1/2)ln(x^2+x+1)+（√3/3）arctan[(2x+1)/√3]-(1/2)ln(1+x^2)+C.

Answer 3

1/2*log(x^2+x+1)+1/3*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x+1)*3^(1/2))-1/2*log(x^2+1) +C

Answer 4

hol2+x+1)+(CX+D)/(x^2+1),
用待定系数法，求出分子各项系数，
x^3((A+C)+x^2(B+C)+x(A+C+D)+(B+D)=1,
A+C=0,B+C=0,A+C+D=0，B+D=1，
A=1，B=1，C=-1，D=0，
∴原式=∫（x+1)dx/(x^2+x+1)-∫xdx/(x^2+1)
=（1/2）∫（x^2+x+1)/(x^2+x+1)+(1/2)∫dx/(x^2+x+1)-（1/2）∫d(x^2+1)/(x^2+1)
=(1/2)ln(x^2+x+1)+(1/2)(√3/2）(4/3)∫d[x+1/2）*2/√3]/{[2（x+1/2)/√3]^2+1}-(
/2)ln(1+x^2)
=(1/2)ln(x^2+x+1)+（√3/3）arctan[(2x+1)/√3]-(1/2)ln(1+x^2)+C.