初三数学压轴题
已知A(4,0),B(3,2),C(1,2),动点M从B出发,沿BC向c点运动,动点N从点同时停止运动,在运动过程中,MP垂直于OA,MP于AC相交于点Q,运动时间为t,...
已知A(4,0),B(3,2),C(1,2),动点M从B出发,沿BC向c点运动,动点N从点同时停止运动,在运动过程中,MP垂直于OA,MP于AC相交于点Q,运动时间为t,(1)S=S⊿AMQ,求S于t的关系,并求S的最大值。(2)t为何值时,三角形AMQ为等腰三角形。
S为三角形AMQ的面积。 展开
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分析:(1)已知点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(1,2),根据“两点法”可求直线AC的解析式;(2)过B作BH⊥OA于H,根据简答枣等腰梯形的性质可求B点坐标,由直线AC的解析式可表示线段PQ,又由已知可表示AM,再表示△AMQ的面积,根据二次函数的性质求最大值;(3)当△AMQ是以MQ为腰的等腰三角形,有两种情况:①QM=QA,②QM=MA,可根据图形特征和勾股定理求解.
解答:解拦拆:解(1)设直线AC的解析式为:y=kx+b,把点A(4,0),C(1,2)代入得① 4k+b=0② k+b=2 .解得 k=-2/ 3 b=8/ 3 ,∴y=-2 /3 x+8 /3 (2)过B作BH⊥OA于H,∵C(1,2),由等腰梯形的性质∴AH=1,则OP=OA-AH-HP=4-1-BN=3-t∵点Q是AC上的点∴PQ=-2/ 3 (3-t)+8 /3 ∵AM=OA-OM=4-2t∴S=1/ 2 AM•PQ=1 /2 (4-2t)(2/ 3 t+2/ 3 )=-2 /3 t²+2 /3 t+4/ 3 ;当t=1 /2 时,S最大=3/ 2
(3)有以下两种情形①QM=QA,由等腰三角形三线合一的性质此时MP=AP,即3-3t=t+1,t=0.5(2分)②QM=MA,即QM2=MA2,由勾股定理得MP2+PQ2=MA2即(3-3t)²+(2 /3 t+2 /3 )²=(4-2t)²,t1=59/ 49 ,t2=-1(舍去)∴当t=0.5或t1=59 49 时,△AMQ是以MQ为腰的等腰三角形
(本题考查了直线解析式的求法,坐标系中三角形面积的表示方法,二次函数的最大值问题,及寻找等举祥腰三角形的条件.)
解答:解拦拆:解(1)设直线AC的解析式为:y=kx+b,把点A(4,0),C(1,2)代入得① 4k+b=0② k+b=2 .解得 k=-2/ 3 b=8/ 3 ,∴y=-2 /3 x+8 /3 (2)过B作BH⊥OA于H,∵C(1,2),由等腰梯形的性质∴AH=1,则OP=OA-AH-HP=4-1-BN=3-t∵点Q是AC上的点∴PQ=-2/ 3 (3-t)+8 /3 ∵AM=OA-OM=4-2t∴S=1/ 2 AM•PQ=1 /2 (4-2t)(2/ 3 t+2/ 3 )=-2 /3 t²+2 /3 t+4/ 3 ;当t=1 /2 时,S最大=3/ 2
(3)有以下两种情形①QM=QA,由等腰三角形三线合一的性质此时MP=AP,即3-3t=t+1,t=0.5(2分)②QM=MA,即QM2=MA2,由勾股定理得MP2+PQ2=MA2即(3-3t)²+(2 /3 t+2 /3 )²=(4-2t)²,t1=59/ 49 ,t2=-1(舍去)∴当t=0.5或t1=59 49 时,△AMQ是以MQ为腰的等腰三角形
(本题考查了直线解析式的求法,坐标系中三角形面积的表示方法,二次函数的最大值问题,及寻找等举祥腰三角形的条件.)
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(1)MC//AP
MC/AP=MQ/PQ=(PM-PQ)/PQ=PM/PQ-1=2/PQ-1
PQ=2/(MC/AP+1)=2AP/(MC+AP)
AP=OA-OP=4-(1+BC-MB)=1+t
MC=BC-MB=2-t
PQ=(2+2t)/基此皮3
AN=OA-ON=4-3t
S=1/2*AN*PQ=1/2*(4-3t)*(2+2t)/3=(4/3-t)(1+t)
所以当t=1/6时扒梁,S取到最大值49/36
(2)△AMQ是等腰三角形
①AQ=NQ
AP=NP
1+t=OP-ON=1+BC-MB-3t
t=2-t-3t
t=2/5
②AQ=AN
AP*AC/(AP+MC)=4-3t
(1+t)根号13/3=4-3t
(根号13/3+3)t=4-根号13/3
t=(4-根号13/3)/(根号13/3+3)=(12-根号13)/(根号13+9)(12-根号13)/(根号13+9)
③NQ=AN
Q(3-t,(2+2t)/3)
N(3t,0)
根号[(4t-3)^2+(2/3+2t/3)^2]=4-3t
16t^2-24t+9+4/9+8t/9+4t^2/9=16-24t+9t^2
7t^2+4t^2/9+8t/9+4/9-7=0
67t^2+8t-59=0
(t+1)(67t-59)=0
t=59/67
所以当t=2/5或(12-根号13)/(根号13+9)或59/67时,△AMQ为等腰三角搏差形
MC/AP=MQ/PQ=(PM-PQ)/PQ=PM/PQ-1=2/PQ-1
PQ=2/(MC/AP+1)=2AP/(MC+AP)
AP=OA-OP=4-(1+BC-MB)=1+t
MC=BC-MB=2-t
PQ=(2+2t)/基此皮3
AN=OA-ON=4-3t
S=1/2*AN*PQ=1/2*(4-3t)*(2+2t)/3=(4/3-t)(1+t)
所以当t=1/6时扒梁,S取到最大值49/36
(2)△AMQ是等腰三角形
①AQ=NQ
AP=NP
1+t=OP-ON=1+BC-MB-3t
t=2-t-3t
t=2/5
②AQ=AN
AP*AC/(AP+MC)=4-3t
(1+t)根号13/3=4-3t
(根号13/3+3)t=4-根号13/3
t=(4-根号13/3)/(根号13/3+3)=(12-根号13)/(根号13+9)(12-根号13)/(根号13+9)
③NQ=AN
Q(3-t,(2+2t)/3)
N(3t,0)
根号[(4t-3)^2+(2/3+2t/3)^2]=4-3t
16t^2-24t+9+4/9+8t/9+4t^2/9=16-24t+9t^2
7t^2+4t^2/9+8t/9+4/9-7=0
67t^2+8t-59=0
(t+1)(67t-59)=0
t=59/67
所以当t=2/5或(12-根号13)/(根号13+9)或59/67时,△AMQ为等腰三角搏差形
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根号13/3(1+t)BM=t, CM=2-t, 延长CB至点D,连接AD使AD垂直于BC,可知BD=1,AD=2,于是tan∠ACB=AD/CD=2/3
于是MQ/CM=2/3,即MQ=2/3(2-t)
AP=1+t
△AMQ的面积为:S=1/2*MQ*AP=1/2*2/3(2-t)*(1+t)=-1/3(t-2)(t+1)
当t=1/2时,缓知S取最大面积为3/4.
(2) 由题意可知,当AQ=MQ时,△AMQ为等腰三角形。
AQ^2=AP^2+PQ^2=13/9(1+t)^2
AQ=根号13/3(1+t)
根号13/3(1+t)=2/3(2-t),
解得扰答消 t=(4-根举如号13)/(2+根号13)
于是MQ/CM=2/3,即MQ=2/3(2-t)
AP=1+t
△AMQ的面积为:S=1/2*MQ*AP=1/2*2/3(2-t)*(1+t)=-1/3(t-2)(t+1)
当t=1/2时,缓知S取最大面积为3/4.
(2) 由题意可知,当AQ=MQ时,△AMQ为等腰三角形。
AQ^2=AP^2+PQ^2=13/9(1+t)^2
AQ=根号13/3(1+t)
根号13/3(1+t)=2/3(2-t),
解得扰答消 t=(4-根举如号13)/(2+根号13)
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