Question

用数学归纳法证明一个问题

请用数学归纳法证明：ln(k+1)<1+1/2+1/3+…+1/k。谢谢。

Answer 1

先证明f(x)=ln(1+x) -x (x≥0) 是减函数。
f'(x)=1/(1+x) -1 = -x/(1+x)≤0，从而 f(x)＝ln(1+x) -x (x≥0) 是减函数。
所以 当x>0时，有f(x)<f(0)=0
下面用数学归纳法。
(1)k=1时，ln2<lne=1，成立；
(2)假设k=m时，不等式成立，即
ln(m+1)<1+1/2+1/3+…+1/m
那么 ln(m+2)-[1+1/2+1/3+…+1/m+1/(m+1)]
=ln(m+2)-ln(m+1) -1/(m+1)
=ln[(m+2)/(m+1)] -1/(m+1)
=ln(1+1/(m+1)] -1/(m+1)
=f[1/(m+1)] <f(0)=0
即 ln(m+2)<[1+1/2+1/3+…+1/m+1/(m+1)]
所以 k=m+1时不等式也成立。
由（1）（2），不等式成立。

Answer 2

归纳时，通过中值定理说明 ln(k+1) - ln(k) = 1/x (k < x < k+1) < 1/k