Question

工科数学分析

证明：若函数f(x)在(a,b)上的导数f`(x)有界，则f(x)在此区间上一致连续

Answer 1

证明：
∵函数f(x)在(a,b)上的导数f`(x)有界，则存在M>0，s.t. 对任意x∈（a，b），|f`(x)|<M,
对任意ε>0,存在δ=ε/M，s.t.对任何x1，x2∈（a，b），且|x1-x2|<δ,
由拉格朗日中值定理，存在ξ=x1+θ（x2-x1）（其中θ∈（0,1）），
有 f(x1) - f(x2) = f`(ξ)（x1-x2），即|f(x1) - f(x2) |= |f`(ξ)|*|x1-x2|<M * ε/M=ε,
由一致连续定义知，f(x)在此区间（a，b）上一致连续

Answer 2

一致连续是数学分析中的重要概念,吕通庆[1]曾对一致连续作过深入的研究,揭示了连续与一致连续的本质区别,但对判断一致连续的方法研究的并不多.众所周知,当函数在闭区间上函数有有限极限,则在区间I上点点连续和在该区间上一致连续是一致的(即等价的).若函数f(x)在区间I上存在有界的导数,则函数f(x)在区间I上一致连续.本文在函数f(x)拟可导的条件下,研究了其在区间I上的一致连续性.1预备知识定义1若函数f(x)是在区间I上的实值函数,如果任取x,y∈I,0≤λ≤1,有f[λx+(1-λ)y]λf(x)+(1-λ)f(y)(或f[λx+(1-λ)y]λf(x)+(1-λ)f(y))则称f(x)为定义在区间I上的下凸(或上凸)函数,上、下凸函数统称为凸函数.定义2若函数f(x)在U(x0)有定义,且在x0的极限limh→0f(x0+h2)-f(x0-h2)h存在,则称函数f(x)在x0拟可导[2],记为Df(x0)=limh→0f(x0+h2)-f(x0-h2)h引理1[3]凸函数在任意开区间I上连续.引理2[4]若函数f(x)在区间(a,b)上单调、有界,则函数f(x)在端点a与b的极限