Question

如图，四边形ABCD中，角BAD+角BCD=180度，AD、BC的延长线交与点F，DC、AB的延长线交与点E，角E，角F的平分

线交与点H，求证：EH垂直于FH
（图可能不标准）
麻烦不要网上抄袭，谢谢

Answer 1

证明：延长EH交AF于M，设BF、EH交于N，
因为 角BAD+角 BCD=180度，角BCE+角BCD=180度，
所以 角BAD=角BCE，
因为 EH平分角AED，
所以 角AEM=角DEM，
又因为 角FMN=角BAD+角AEM，
角FNM=角BCE+角DEM，（三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角的和）
所以 角FMN=角FNM，
所以 FM=FN，三角形FMN是等腰三角形，
因为 FH平分角AFB，
所以 FH垂直于EH。

Answer 2

延长FH交AB于M,设FH与DC交于O
∵∠BAD+∠BCD=180°
∴D、A、B、C四点共圆
∴∠FDO(∠FDC)=∠FBM(∠FBA)
∵FH(FM)平分∠AFB
∴∠DFO(∠AFM)=∠MFB
∴△FDO∽△AMB
∴∠FOD=∠OME(∠FMB)
∵∠FOD=∠EOM
∴∠OME=∠EOM
∴△MOE是等腰三角形
∵HE平分∠OEM(∠DEA)
∴EH⊥OM(等腰三角形，顶角平分线、底边上的高，中线三线合一）
即EH⊥FH

Answer 3

连接EF,根据外角和公式，∠ADE+∠ABE=∠DFE+∠DCF+∠BEC+∠BCE=180;
而∠HFE+∠HEF=1/2∠DFB+1/2∠BEC+∠CEF+∠EFC;
∠CEF+∠EFC=∠ BCE=∠DCF
所以,∠HFE+∠HEF=1/2DFB+1/2∠BEC+1/2(∠DCF+∠BCE)=90°；
所以∠H=90°；所以EH⊥FH.