Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA垂直于平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，G为PD中点，E点在AB上；...

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA垂直于平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，G为PD中点，E点在AB上；平面PEC垂直于平面PDC，求证：（1）AG垂直于平面PCD（2）求证：AG平行于平面PEC（3）求点G到平面PEC的距离。求教，一定要快啊，急急急！！！

Answer 1

(1)由等腰△APD三线合一知AG⊥PD，且PD⊂面PCD，故AG⊥面PCD；

(2)又面PEC⊥面PDC，且AG⊄面PEC，故AG//面PEC；

(3)先证明点E是AB的中点(不好意思，这里没有想出来)

则F为PC中点，易知PG=2√2，GC=2√6，PC=4√3，S_PGC=4√2，EF=AG=2√2，

PE=EC=2√5，PC=4√3，S_PEC=4√6，设点G到面PEC的距离为d，

则由体积法知d=EF*S_PGC/S_PEC=2√6/3

Answer 2

＝≠(1)因为三角形PAD为等腰直角三角形，所以AG垂直于PD.
又因为CD垂直于AD,CD垂直于PA，所以CD垂直于平面PAD，所以CD垂直于AG
于是AG垂直于平面PDC内两条相交直线，故AG垂直于平面PDC
(2)过点G作GF垂直于PC，交PC于点F,连接FE
因为AG垂直于平面PDC,所以AG垂直于GF；
平面PDC垂直于平面PCE，GF位于平面PDC内且GF垂直于交线PC，所以GF垂直于平面PEC,GF 垂直于EF;
BA垂直于AD,BA垂直于PA，故BA垂直于平面PAD,BA垂直于AG；
综上可知，四边形AGFE的四个角都是直角，因而为矩形，GA//FE，GA//平面PEC
(3)由上可知，GF即为点G到平面PEC的距离
根据三角形PFG相似于三角形PDC，FG/CD=PG/PC
FG/4=2√2/4√3
FG=2√6/3