Question

在三角形abc中，ab=5，ac=3，d为bc的中点，且ad=4，求bc

Answer 1

设 BD = CD = x 。

由余弦定理可得：
cos∠ADB = (BD²+AD²-AB²)/(2*BD*AD) = (x²-9)/(8x) ；
cos∠ADC = (CD²+AD²-AC²)/(2*CD*AD) = (x²+7)/(8x) ；

因为，∠ADB+∠ADC = 180° ，
所以，cos∠ADB+cos∠ADC = 0 ，
可得：(x²-9)/(8x)+(x²+7)/(8x) = 0 ，（其中 x>0 ）
解得：x = 1 ，
可得：BC = BD+CD = 2x = 2

Answer 2

解：延长AD，使DE=AD,连接BE
因为D为BC的中点
所以DC=BD
因为角ADC=角EDB
所以三角形ADC和三角形EDB全等（SAS)
所以AC=BE
因为AB=5 AE=AD+DE=4+4=8 AC=BE=3
由余弦定理得：
cos角BAD=(AB^2+AE^2-BE^2)/2*AB*AE
所以角BAD=(5^2+8^2-3^2)/2*5*8=1
所以角BAD=90度
所以在直角三角形BAD中，由勾股定理得：
BD^2=AB^2+AD^2
所以BD=根号41
所以BC=2倍根号41

Answer 3

设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD=DC=x/2
在△ADB中
cosADB=(AD^2+BD^2-AB^2)/(2AD*BD)
=[4^2+(x/2)^2-5^2]/(2*4*x/2)
在△ADC中
cosADC=(AD^2+DC^2-AC^2)/(2AD*DC)
=[4^2+(x/2)^2-3^2]/(2*4*x/2)
又∠ADB＋∠ADC=80°
∴cosADB=cos(180°-ADC)-cosADC
∴[4^2+(x/2)^2-5^2]/(2*4*x/2)=[4^2+(x/2)^2-3^2]/(2*4*x/2)
解得:
x=2
∴BC长为2
但是三边为2、3、5构不成三角形，所以这个三角形不存在

Answer 4

2