Question

由曲线y=1-(x-1)^2及直线y=0所围成的图形绕y轴旋转而成的立体体积是?

Answer 1

y=1-(x-1)^2 => x=1±√(1-y)。

与y=0围成的图像取值范围为0≤x≤2,0≤y≤1，x=1为对称轴，旋转体体积为两部分曲线与y轴围成的体积之差，即V=V2(1≤x≤2)-V1(0≤x≤1)。

V2=∫<0,1>πx^2dy=∫<0,1>π[1+√(1-y)]^2dy

=π∫<0,1>[1+2√(1-y)+(1-y)]dy

=(2π-π/2)-(0-4π/3)

=17π/6

含义

曲线的左端点代表黑场，假如你把这个点提高，头发、眼珠等黑颜色就会变亮；你把这个点向右拉（现在无法再把它降低），阴影会变得更黑，甚至发焦，但当画面黑场不足时，用这个办法可以加深黑场。

曲线的右端点代表白场，假如你把这个点降低，高光就会变暗，鼻尖、眉弓等处的反光就会变成灰色，这一般是不采用的；假如你把这个点向左拉（它已经无法再升高），接近高光的亮颜色就会变成高光，当画面亮调灰暗无力时，这是一个办法。

Answer 2

y=1-(x-1)^2 => x=1±√(1-y)
与y=0围成的图像取值范围为0≤x≤2,0≤y≤1，x=1为对称轴
旋转体体积为两部分曲线与y轴围成的体积之差，即V=V2(1≤x≤2)-V1(0≤x≤1)
V2=∫<0,1>πx^2dy=∫<0,1>π[1+√(1-y)]^2dy
=π∫<0,1>[1+2√(1-y)+(1-y)]dy
=π∫<0,1>(2-y)dy+2π∫<0,1>√(1-y)dy
=-π∫<0,1>(2-y)d(2-y)-2π∫<0,1>√(1-y)d(1-y)
=-π(2-y)^2/2<0,1>-4π/3*(1-y)^(3/2)<0,1>
=(2π-π/2)-(0-4π/3)
=17π/6
类似地，
V1=∫<0,1>πx^2dy=∫<0,1>π[1-√(1-y)]^2dy
=π∫<0,1>[1-2√(1-y)+(1-y)]dy
=π∫<0,1>(2-y)dy-2π∫<0,1>√(1-y)dy
=-π∫<0,1>(2-y)d(2-y)+2π∫<0,1>√(1-y)d(1-y)
=-π(2-y)^2/2<0,1>+4π/3*(1-y)^(3/2)<0,1>
=(2π-π/2)+(0-4π/3)
=π/6
∴V=V2-V1=17π/6-π/6=8π/6

Answer 3

解：所求立体的体积=∫<0,1>πy dx =∫<0,1>π(x ) dx =∫<0,1>πx^4dx =(πx^5/5)│<0,1> =π/5