Question

定义在R上的函数f（x）的图像关于点A（a ，b）和点B（c，d）都对称 其中c不等于a 求f （x）的周期

Answer 1

命题有误。

1.如果 b=d，则是周期的，证明如下：
   f(x)关于A点对称则：任意x,有f(2a-x)+f(x)=2b（此证明在任意一本高考数学参考书里都有）
  有关于B点对称，同上有：任意x,有f(2c-x)+f(x)=2d,
  因为b=d，则f(2a-x)=f(2c-x)，这个式子很容易求出周期，
                 设x1=2a-x,即x=2a-x1,则f(x1)=f(2a-x)=f(2c-x)=f(2c-(2a-x1))=f(x1+2(c-a))
  所以有任意 x , f(x)=f(x+2(c-a)),所以f(x)的一个周期为2(c-a)  （并一定为最小正周期）
2.如果b!=d，则不一定有周期的，反例图片如下：
  红点当做是A点，紫色点当做B点，蓝色当做f(x)的图像，显然此f(x) 图片满足提问者的要求，但此函数显

然不是周期函数，当然没周期一说。

 

Answer 2

发烧命题：
是从y=sinx旋转θ角后联想的，旋转后则不再函数了，本题中若作为研究对象为周期函数的话，必须加上b=d
不妨设a<c
f(x+2c-2a)=f[c+(c+x-2a)]=f[c-(c+x-2a)]=
f[2a-x]==f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x)
所以T=2|a-c|