Question

已知3的a次幂加13的b次幂等于17的a次幂,5的a次幂加上7的b次幂等于11的b次幂,求证a<b

Answer 1

因为3^a+13^b=17^a
且13^b>0
所以17^a>3^a
由F（x）=x^a 在x>0时 为增函数（幂函数）
所以a>0
因为5^a+7^b=11^b
且 5^a>0
所以11^b>7^b
由F（x）=x^b 在x>0时 为增函数（幂函数）

所以b>0
3^a+13^b=17^a>16^a=(13+3)^a>13^a+3^a（二项式定理）
所以两边消掉3^a
则有13^b>13^a
所以b>a

追问

有点不对啊，a，b没说是整数啊，不能用二项式定理啊

追答

解:
令a=1,则13^b=14,5+7^b=11^b,可见b>1.
由此猜想:a=b,则13^a>=13^b,5^a>=5^b,
故17^a=3^a+13^b==5^b+7^b,即
(3/17)^a+(13/17)^a>=1,
(5/11)^b+(7/11)^b=1>=g(b)
故a1
这与假设的a>=b相矛盾!
故a<b.

Answer 2

3^a+13^b=17a>=2(3^(a/2)13^(b/2),17^(2a)/3^a>=4*13^b,a>=log(2,4*13^b)/log(2,17^2/3)
5^a+7^b>=11^b>=2(5^(a/2)7^(b/2),11^(2b)/(4*7^b)>=5^a,a<=[blog(2,11^2)-log(2,4*7^b)]/log(2,5)
a<=[2blog(2,11)-log(2,4*7^b)]/log(2,5)=blog(5,11^2/7)-log(5,4)=b[1+log(5,121/35)]-log(5,4)
=b+blog(5,121/35)-log(5,4)
如果b>=1则121/35>4,log(5,121/35)>log(5,4),所以a<=b+blog(5,121/35)-log(5,4),则a<b
如果b<1可能是用另一个式子来证明的。暂时没时间了。或者可以证明b≥1？？