Question

设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：

设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
（1）M中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P不在M中的任一条直线上；
（3）对于任意正整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
（4）M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是

Answer 1

解：
由 直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），可令 x=cosθ y=2+sinθ ，
消去θ可得 x2+（y-2）2=1，故 直线系M表示圆 x2+（y-2）2=1 的切线的集合，
故（1）不正确．

因为对任意θ，存在定点（0，2）不在直线系M中的任意一条上，故（2）正确．

由于圆 x2+（y-2）2=1 的外且正n 边形，所有的边都在直线系M中，故（3）正确．

M中的直线所能围成的正三角形的边长不一等，故它们的面积不一定相等，
如图中等边三角形ABC和 ADE面积不相等，
故（4）不正确．

综上，正确的命题是 （2）、（3），故答案为 （2）、（3）．