Question

高一数学：奇函数在一区间上单调递增，则在对称区间上也是单调递增。怎么证明啊？？？

Answer 1

证明：设奇函数f(x)在区间（a,b）【a,b都为正数】上单调递增，
假设-b<x1<x2<-a，那么b>-x1>-x2>a,由于f(x)在区间（a,b）上为增函数，
故，f(-x1)>f(-x2),又由于f(x)为奇函数，那么f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),
也就是-f(x1)>-f(x2),那么f(x1)<f(x2)，
因此，f(x)在它的对称区间（-b,-a）上也是增函数，
故，奇函数在一区间上单调递增，则在对称区间上也是单调递增

Answer 2

奇函数：f(x)= -f(-x)
若在某一区间上单调递增,那么在此区间上任意取两点x1,x2 (x1<x2)
那么有 f(x2)-f(x1)>0
再根据 f(x)= -f(-x)
有： -f(-x2)-(-f(-x1))>0
也就是 f(-x1)-f(-x2)>0
而 -x2<-x1
说明单调递增

Answer 3

x1>x2>0,f(x1)>f(x2),f(x1)=-f(-x1)，f(x2)=-f(-x2)，-f(-x1)>-f(-x2)，f(-x1)<f(-x2)，-x1<-x2,
在对称区间也单调递增

Answer 4

当f(x)单减时，证法类似