Question

如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC和BD的交点，E为CO上一点，连接BE，F为∠OBE角平分线上一点，连接OF、AF

如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC和BD的交点，E为CO上一点，连接BE，F为∠OBE角平分线上一点，连接OF、AF，G为BE上一点且BO=BG。（1）若FG⊥OF，OF=1,求线段OG的长度；（2）若∠AFB＝90°，求证：AF＝BF+OG

Answer 1

1、∵BF平分∠OBE
∴∠OBF=∠GBF
∵BO=BG，BF=BF
∴△OBF≌△GBF
∴OF=FG
∵FG⊥OF
∴△OFG是等腰直角三角形
∴OG=√(OF²+FG²)=√2
2、作OH垂直于OF交AF于H
∵ABCD是正方形，BD、AC是对角线
OA=OB，∠AOB=90°
∵∠HOF=90°(做的OH⊥OF)
∴∠AOH=∠BOF(同为∠HOB的余角）
∵∠AFB=∠AOB=90°
设AF与OB交于M，∠OMA=∠FMB(对顶角）
∴∠OAH(∠OAM)=∠OBF(∠MBF)
在△AHO和△BOF中
OA=OB，∠AOH=∠BOF，
∠OAH=∠OBF
∴△AHO≌△BOF
∴AH=BF，OH=OF
∵OF=FG(第一步已经证明）
∴OH=FG
∵∠OFG=∠HOF=90°(这一步有点问题，∠OFG在第一步是假设的，）
∴OG=FH
AF=AH+HF=BF+OG

Answer 2

 

Answer 3

(1)
因为BO=BG，BF平分角OBF，所以角OBF=角GBF
因为BF=BF，所以三角形OBF全等于三角形GBF(SAS)
所以OF=GF所以三角形OGF是等腰直角三角形，
由锐角三角函数得：OG=根号2

(2)
作OH垂直于OF
证三角形AHO全等于BFO
则OHFG是平行四边形
所以AF=AH+HF=BF+OG