抽象函数单调性问题
任意x,y属于R，都有f(x)+f(y)=f(x+y),当x>0时，f(x)<0,判断f(x)的单调性并证明。证明不会呀，高手帮忙...
任意x,y属于R，都有f(x)+f(y)=f(x+y),当x>0时，f(x)<0,判断f(x)的单调性并证明。
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抽象函数的单调性
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光点科技
2023-08-15 广告
通常情况下，我们会按照结构模型把系统产生的数据分为三种类型：结构化数据、半结构化数据和非结构化数据。结构化数据，即行数据，是存储在数据库里，可以用二维表结构来逻辑表达实现的数据。最常见的就是数字数据和文本数据，它们可以某种标准格式存在于文件...
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抽象函数单调性判断的四种策略：
凑差策略。
紧扣单调函数定义，利用赋值，设法从题设中“凑出”“f(x1)-f(x2)”,然后判断符号。
添项策略。
瞄准题中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到确定“f(x1)-f(x2)”的符号的目的。
增量策略。
由单调性的定义出发。
放缩策略。
结合添项策略，利用放缩法，判断f(x1)与f(x2)的大小关系，从而得f(x)的单调性。
抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。这类问题对发展学生思维能力，进行数学思想方法的渗透有较好的作用。
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设在R上x1>x2
f(x1)-f(x2)=
f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)+f(x1-x2)-f(x2)=f(x1-x2)
因为x1>x2
所以f(x1-x2)<0
所以f(x1)<f(x2)
所以为减函数
f(x1)-f(x2)=
f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)+f(x1-x2)-f(x2)=f(x1-x2)
因为x1>x2
所以f(x1-x2)<0
所以f(x1)<f(x2)
所以为减函数
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例题：已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0，
求：当-3≤x≤3时，求f(x)的最大值与最小值。
解：在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取x=0,y=0，可得f(0)=0，
取y=-x，可得f(x)=-f(-x)，即函数f(x)是奇函数，
在f(x)的定义域R内任取x1，x2，使x1<x2，即x1-x2<0
则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0，
故f(x)在定义域R内是单调递增函数，
因为f(1)=2，所以f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6，f(-3)=-f(3)=-6，
因为f(x)在定义域R内是单调递增函数，故
当-3≤x≤3，求f(x)的最大值为6，最小值-6
思路总结：
对于类似的题目，要想办法应用单调性的定义证明，
并且要从题目所给的条件深刻挖掘出有利的信息，
可能时可以使用导数方法证明单调性。 参考资料：思路总结为原创，例题与解答出自http://zhidao.baidu.com/question/260595588.html
求：当-3≤x≤3时，求f(x)的最大值与最小值。
解：在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取x=0,y=0，可得f(0)=0，
取y=-x，可得f(x)=-f(-x)，即函数f(x)是奇函数，
在f(x)的定义域R内任取x1，x2，使x1<x2，即x1-x2<0
则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0，
故f(x)在定义域R内是单调递增函数，
因为f(1)=2，所以f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6，f(-3)=-f(3)=-6，
因为f(x)在定义域R内是单调递增函数，故
当-3≤x≤3，求f(x)的最大值为6，最小值-6
思路总结：
对于类似的题目，要想办法应用单调性的定义证明，
并且要从题目所给的条件深刻挖掘出有利的信息，
可能时可以使用导数方法证明单调性。 参考资料：思路总结为原创，例题与解答出自http://zhidao.baidu.com/question/260595588.html
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