Question

有关二重积分对称性问题

积分区域：x²+y²<=a²-h²（a,h为常数）。被积函数为：（x+y+根号（a²-x²-y²））*（a/根号（a²-x²-y²））。如何由对称性就得到了积分区域为：x²+y²<=a²-h²。被积函数为：a。 为什么x+y消了啊？谢谢

Answer 1

积分区域：x²+y²<=a²-h²（a,h为常数）
显然此这是一个圆形区域，圆心为原点，且此区域关于x和y轴都是对称的

被积函数为：
[x+y+√(a²-x²-y²)] * a/√(a²-x²-y²)
=a(x+y)/√(a²-x²-y²) + a

注意在做定积分题目的时候，先看积分区域的对称性，
再看被积函数关于x和y的奇偶性，

如果积分区域D关于x轴对称，被积函数f(x,y)是关于y的奇函数，积分值为0；被积函数f(x,y)是关于y的偶函数，积分值为对称区域其中之一的二倍．
而如果积分区域D关于y轴对称，被积函数f(x,y)是关于x的奇函数，积分值为0；被积函数f(x,y)是关于x的偶函数，积分值为对称区域其中之一的二倍

比如对奇函数2x在(-a，a)上积分，
得到原函数是x²，代入上下限积分值就是0，

而对偶函数3x²在(-a，a)上积分，
得到原函数是x^3，代入上下限积分值就是2a^3，显然是在(0，a)上积分值的两倍

这道题积分区域x²+y²<=a²-h² 关于x和y轴都是对称的，
而积分函数
a(x+y)/√(a²-x²-y²) + a
=ax /√(a²-x²-y²) + ay/√(a²-x²-y²) + a
在这里ax /√(a²-x²-y²)是关于x的奇函数，
而ay/√(a²-x²-y²)是关于y的奇函数，

所以a(x+y)/√(a²-x²-y²)在积分区域x²+y²<=a²-h² 进行定积分得到的积分值就是0
故原积分就等于 a 在积分区域x²+y²<=a²-h² 上的积分

Answer 2

二重积分轮换对称性，一点都不难

Answer 3