Question

设实数集s满足下面两个条件的集合。(1)1不属于s (2)a∈s,则1/1-a∈s 求证 ① 若a∈s则1-1/a∈s ②

若2∈S，则在S中必含其他的两个数，试求出这两个数。③：求证：集合S中至少有三个不同的元素

Answer 1

(1) a∈s, 则1/(1-a)∈s , 于是 1/[1-1/(1-a)]=1-1/a∈s
(2) 2∈s, 1/(1-2)=-1∈s, 1/[1-(-1)]=1/2∈s, 即至少还有-1，和1/2 两个数。
(3) 结论不正确，因为S可以是空集，正确表述应该加个条件S不空，下面假设s不空，
即有一个元素a∈s，由（1）知1/(1-a)和1-1/a也∈S，如果能证明这三个数不同，也就证明了(3)
如果 a=1/(1-a) ，则 a^2-a+1=0, 这个方程无解，所以a与1/(1-a)不同
如果 a=1-1/a, 则a^2-a+1=0, 这个方程无解，所以a与1-1/a不同
如果 1/(1-a)=1-1/a，则a^2-a+1=0, 这个方程无解，所以1/(1-a)与1-1/a不同
这就证明了a, 1/(1-a), 1-1/a 三个数互不相同。

追问

为什么 它属于S 它的倒数就属于S？

追答

哪里说了a属于S，a的倒数就属于S？
如果你问的是 a∈s,则1/1-a∈s这个的话，那本来就是题目给出的条件。

追问

是这句后面的于是 1/[1-1/(1-a)]=1-1/a 不存在S是空集，因为第一句话就是S为实数集，。

追答

既然已经知道1/(1-a)∈s了，而又知道对任意的a∈s都有1/1-a∈s。你现在可以把1/(1-a）当作a带进去呀，就得到 1/[1-1/(1-a)]要属于S了。