Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点

求二面角M-BD-C的余弦值．

不要用向量法。
AB=PA=3,AD=6

Answer 1

 

 

 

在平面PAC上作MH⊥AC,

∵PA⊥AC,MH⊥AC,

∴MH//PA,

∵PA⊥平面ABCD,

∴MH⊥平面ABCD,

根据三角形平行比例线段性质,

MH/PA=MC/PC=1/3,

PA=3,

∴MH=1,

在平面ABCD上作HE⊥BD,垂足E,连结ME,

根据三垂线定理,

ME⊥BD,

∴<HEM是二面角A-BD-M的平面角,

S△HBD=S△BDC-S△BCH-S△DCH

=(1/2)S矩形ABCD-(1/3)S矩形ABCD

=(1/6)S矩形ABCD

=6*3/6=3,

根据勾股定理,BD=3√5,

S△BDH=BD*HE/2=3,

HE*3√5/2=3,

∴HE=2√5/5,

在RT△MHE中,根据勾股定理,

ME=3√5/5,

cos<HEM=HE/ME=2/3,

∴二面角M-BD-C余弦值为2/3.. 

Answer 2

不用向量：
连接AC交BD于O，过M做PA平行线交AC于V，过V做BD垂直线交BD于E，则∠MEV即二面角M-BD-C
先求∠COD，由sin∠ACB=1/√5，cos∠ACB=2/√5，所以sin∠COD=sin（2∠ACB）=2*sin∠ACB*cos∠ACB=4/5

因为VO=1/2AC-1/3AC=1/6AC=√5/2，所以VE=VO*sin∠COD=2/√5
MV=PA/3=1 所以tg∠MEV=MV/VE=√5/2
得sec²∠MEV=1+5/4=9/4，所以COS∠MEV=2/3
即二面角M-BD-C的余弦值为2/3

Answer 3

好久没接触了

追问

AB=PA=3,AD=6