如图,在四边形ABCD中,E是BC的中点,且∠AED=∠B=∠C=60°,过点E作EM⊥AD于M,求EM比BC
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解:作EF垂直CD于F,则∠CEF=90度-∠C=30° .CE=2CF,EF=√(CE^2-CF^2)=√3CF.
又BE=EC,则BC=2CE=4CF.即EF:BC=(√3CF):4CF=√3:4.
∵∠CED=180度-∠AED-∠BEA=120度-∠BEA;
∠BAE=180度-∠B-∠BEA=120度-∠BEA.
∴∠CED=∠BAE;又∠C=∠B=60° .
∴⊿CED∽⊿BAE,DE/AE=CD/BE,则DE/AE=CD/CE.
又∠AED=∠C=60度.故⊿DEA∽⊿DCE.
∴∠ADE=∠EDF;又EM⊥AD,EF⊥CD.
∴EF=EM.所以,EM:BC=EF:BC=√3:4.
又BE=EC,则BC=2CE=4CF.即EF:BC=(√3CF):4CF=√3:4.
∵∠CED=180度-∠AED-∠BEA=120度-∠BEA;
∠BAE=180度-∠B-∠BEA=120度-∠BEA.
∴∠CED=∠BAE;又∠C=∠B=60° .
∴⊿CED∽⊿BAE,DE/AE=CD/BE,则DE/AE=CD/CE.
又∠AED=∠C=60度.故⊿DEA∽⊿DCE.
∴∠ADE=∠EDF;又EM⊥AD,EF⊥CD.
∴EF=EM.所以,EM:BC=EF:BC=√3:4.
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