Question

已知正方形ABCD,E为对角线BD上一点，过E作EF垂直于DB交BC于F,连接DF,G为DF中点

（1）求证：EG=CG
（2）将三角形BEF绕B逆时针旋转45度.（1）中的结论还成立吗？说明理由
（3）将三角形BEF绕B逆时针旋转任意角度，结论还成立吗？

Answer 1

1、∵四边形ABCD是正方形

∴∠FCD(∠BCD)=90°

∵EF⊥BD

∴△EFD和△DFC是直角三角形

∵G是DF的中点

∴ED=1/2DF，CG=1/2DF

∴EG=CG

2、延长EF交CD于点H，连接GH
∵四边形ABCD是正方形，△BEF绕B逆时针旋转45°，EF⊥AB

∴四边形BCHE是长方形,

∴EH=BC=CD，∠FHD=90°

∵∠BDC=45°

∴△DHF等腰直角三角形，

∵G为斜边DF中点。
∴∠GHE=∠GDC=45°，

   DG=GH=1/2DF

在△DGC和△HGE中
EH=CD

DG=GH

∠GHE=∠GDC
∴△DGC≌△HGE

∴EG=CG

3、延长CG至M,使MG=CG，

连接MF，ME，EC    EF交AB于N

在△DCG 与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．   

∴MF‖CD‖AB．

∴∠MFE=∠ANE=90°+∠EBA

∵∠EBC=90°+∠EBA

∴∠MFE=∠EBC

在△MEF和△CEB中

EF=EB   ∠MFE=∠EBC   MF=BC

∴△MFE≌△CBE

∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠BEC+∠FEC=90°

  ME=CE

∵G是MC中点

∴EG=CG(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)