Question

判断下列数列是否收敛，并求极限值：

请给出具体过程，谢谢！

Answer 1

1. a_n=5/[sqrt(5n+6)+sqrt(5n+1)]， 当n->Infinity时，分母->Infinity，所以a_n的极限为0。
2. 当n>3时，a_n>n/4。数列n/4发散，所以a_n不收敛。
3. 应用不等式 Ln(1+x)<x (对x>0恒成立) 有a_n+1 < a_n。由于a_0 = e-1 >0，所以a_n >0。{a_n}单调有界，所以极限存在。对给出的递推等式两边同时取极限有a_Infinity =Ln(1+a_Infinity)，该方程只有0一个根，故{a_n}极限为0。

追问

第三题a1=1，a2=ln2，a3=ln3.....从n等于2开始是单调递增的啊，应该不是收敛的吧

追答

a_3 = ln(1+ln2) < ln2

追问

哦，是的，我把ln里面看错了，不过第一题好像是收敛的吧，分母是趋近于正无穷啊，分子是5

追答

我写的是收敛啊。极限为0。

Answer 2

1、an=5/[(5n+6)^0.5+(5n+1)^0.5]与1/n^0.5同阶，而后者发散，故{an}发散
2、 由于n>=4时n!>2^n，故an>1故发散
3、an+1=f(an)
考虑函数y=f(x)=ln(1+x)，显然f(x)为增函数，a0=e-1，计算a1=1>a2=ln2>a3=ln(1+ln2)
用归纳法可证明{an}递减，且显然an>0，根据单调有界函数必有极限知{an}收敛，且liman=0