Question

一个关于定积分比较定理的问题

关于比较定理，书上是这样说的：
设a<b，f(x)<=g(x), (a<=x<=b), 且f(x)与g(x)不恒等, f(x)和g(x)在[a,b]上连续,则∫f(x)dx<∫f(x)dx, 积分限都是a到b.
可是图中的两个j积分,右边那个被积函数在x=0处不是没有定义吗, 那么被积函数在x=0处也不连续了, 比较定理不是要求在闭区间上连续吗, 那么这两个积分怎样比较大小呢,用什么定理?

Answer 1

右边被积函数f(x)中在x=0处求极限时sinx等价于x ，于是右边被积函数在0处的极限为0.于是可将f(x)定义域扩展到[0,π] ，构造新函数F（x） 使之在0处函数值=0 在（0，π] 区间上的函数值=f(x). 从而，由上面的推导知F（x）在闭区间[0,π] 上是连续的。 再将左边的被积函数g(x)与F(x)进行比较。此时就可以用比较定理了。在得知F(x)与g(x)的大小关系后，就等价于得知了f(x)与g(x)的大小关系了。

Answer 2

右边的被积函数可补充定义，当x=0时，函数为0，这样函数就连续。且不改变定积分的值。