Question

关于x的方程2^(2x)+a2^x+a+1=0有实根，求实数a的取值范围

2^（2x）+a*2^x+a+1=0
(2^x)^2 +a*(2^x)+a+1=0
令 t= 2^x > 0
有实数根 a^2 - 4(a+1) >= 0
a>=2(1+根下（2）) 或 a<=2(1- 根下（2）)
又至少有一个正根
较大根 [-a+根下（a^2 - 4(a+1））]/2 > 0
a^2 - 4(a+1） > a^2
a< -1
当a=-1 时
(2^x)^2 - 2^x =0 ,2^x = 1, x=0
综上 a< =-1

请大家对比这种解法？

Answer 1

2^（2x）+a*2^x+a+1=0
(2^x)^2 +a*(2^x)+a+1=0
令 t= 2^x，则t > 0,方程变为
t^2+at+a+1=0①
①有实数根 ,
<==> a^2 - 4(a+1) >= 0
解得a>=2(1+√2）或 a<=2(1- √2）
又①至少有一个正根，
<==>较大根 [-a+√（a^2 - 4a-4）]/2 > 0
∴√(a^2-4a-4)>a,
a<=2(1- √2）时上式成立；a>=2(1+√2）时两边平方得
a^2-4a-4>a^2,
解得a<-1,矛盾。
综上，a<=2（1-√2）.

Answer 2

a<=2（1-√2）.