Question

高数证明题，求过程

Answer 1

f(x) = sin^3x - x^3cosx
f'(x) = 3sin^2xcosx - 3x^2cosx + x^3 sinx
= 3cosx (sin^2x - x^2) + x^3 sinx
因为sinx > x - x^3/6
所以
f'(x) = 3cosx(sinx - x)(sinx+x) +x^3sinx
>-(sinx+x)cosx * x^3 / 2 + x^3 sinx
=x^3/2 [ 2sinx - cosx(x+sinx)]
所以只需证明2sinx > cosx(x+sinx)即可
由于tanx = x+x^3/3+2x^5/15 + .....
所以tanx > x+x^3/3
所以2tanx > 2x+ 2/3*x^3
而x+sinx<2x
所以2tanx > x+sinx
所以2sinx - cosx(x+sinx) > 0
所以f'(x) > 0
所以f(x) > f(0) = 0
所以[sinx/x]^3 >= cosx

追问

你好，很感谢你详细的解答！我想问一下，这里不用讨论x的正负吗？就是把sinx -x > - x^3/6代入f'(x)里面的时候，x的正负不确定，那么3cosx(sinx+x) 的正负也不确定，f'(x)是取大于还是小于呢？还是我想多了？

Answer 2

高数证明题，需要过程 证明：F(x)=∫（0,x）(2t-x)f(t)dt =2=2xf(x)-[(x) ∫(0,x)f(t)dt+x(∫(0,x)f(t)dt) ] =2xf(x