Question

已知函数f(x)=sinxcosx+根号3cos^2x-(根号3/2)

1.求函数y=f(x)在x属于[0,π/2]上的单调减区间和值域
2.把y=f(x)的图像向右平移π/6个单位后得到的图像，其大于零的零点从小到大组成数列{xn}，求数列{xn}的前n项和Sn

Answer 1

f(x)=sinxcosx+√3(cosx)^2-√3/2

=(1/2)sin2x+(√3/2)cos2x

=sin2xcosπ/3+cos2xsinπ/3

=sin(2x+π/3)

1.
0<=x<=π/2，则π/3<=2x+π/3<=4π/3

π/2<=2x+π/3<=4π/3，则π/12<=x<=π/2，即单调递区间是[π/12,π/2]

当2x+π/3=π/2、即x=π/12时，f(x)取得最大值f(π/12)=1。

当2x+π/3=4π/4、即x=π/2时，f(x)取得最小值f(π/2)=-√3/2。

所以，值域为：[-√3/2,1]。

2.
f(x)=sin(2x+π/3)向右平移π/6个单位得到的是函数y=sin2x。

y=sin2x大于零的零点组成首项为π、公差为π的等差数列。

Sn=nπ+n(n-1)*π/2=(π/2)n^2+(π/2)n，n为正整数。