Question

（1+X^2）^1/2的幂级数展开

请问右式的双阶乘是怎么得到的，基本的公式我能够推到，但是这个结果我实在能力有限，也许是一个很简单的步骤我没想到，如果是一个有过成的计算。请高人把过程写在word里像图片一样截图发上来，感激不尽！

Answer 1

级数展开公式：(1+x)^t=1+∑<n=1,∞>[t(t-1)(t-2)......(t-n+1)]/n!zd (-1<x<1)

则当版 t=-1/2 时

1/√(1+x)=1-(1/2)x+[(1*3)/(2*4)]x^2-[(1*3*5)/(2*4*6)]x^3+

+[(1*3*5*7)/(2*4*6*8)]x^4-...... (-1<x≤权1)

故有 1/√(1+x^2)=1-(1/2)x^2+[(1*3)/(2*4)]x^4-[(1*3*5)/(2*4*6)]x^6+

+[(1*3*5*7)/(2*4*6*8)]x^8-XXX

=1+∑<n=1,∞>(-1)^n[(2n-1)!!/(2n)!!]x^(2n) (-1≤x≤1)

双阶乘的定义：

(2n)!!  ≠  ((2n)!)!

 (2n)!! ＝ 2*4*6*...*2n

(2n－1)!! ＝ 1*3*5*...*(2n-1)

扩展资料：

幂级数解法是求解常微分方程的一种方法，特别是当微分方程的解不能用初等函数或或其积分式表达时，就要寻求其他求解方法，尤其是近似求解方法，幂级数解法就是常用的近似求解方法。用幂级数解法和广义幂级数解法可以解出许多数学物理中重要的常微分方程，例如:贝塞尔方程、勒让德方程。

参考资料来源：百度百科-幂级数解法

Answer 2

你可能理解错了双阶乘的定义：

(2n)!!  ≠  ((2n)!)!

 

(2n)!! ＝ 2*4*6*...*2n

(2n－1)!! ＝ 1*3*5*...*(2n-1)

 

Answer 3

级数展开公式：(1+x)^t=1+∑<n=1,∞>[t(t-1)(t-2)......(t-n+1)]/n! (-1<x<1)
则当 t=-1/2 时
1/√(1+x)=1-(1/2)x+[(1*3)/(2*4)]x^2-[(1*3*5)/(2*4*6)]x^3+
+[(1*3*5*7)/(2*4*6*8)]x^4-...... (-1<x≤1)
故有 1/√(1+x^2)=1-(1/2)x^2+[(1*3)/(2*4)]x^4-[(1*3*5)/(2*4*6)]x^6+
+[(1*3*5*7)/(2*4*6*8)]x^8-......
=1+∑<n=1,∞>(-1)^n[(2n-1)!!/(2n)!!]x^(2n) (-1≤x≤1)

追问

谢谢您的解答，辛苦了！