Question

在三角形ABC中，AD平分角BAC，AD=AB，CM垂直AD于点M。求证AB+AC=2AM

用初一内容

Answer 1

延长DM于N，使DM=MN，连接CN
因为已知CM垂直AD
所以两个直角三角形MCD和MCN全等
所以∠CDM=∠CNM
因为已知AD平分∠BAC
所以∠BAD=∠CAD
又因为∠ADB=∠CDM
推出∠ADB=∠CNM
推出三角形ADB和ACN相似
所以AD:AB=AN:AC
因为已知AD=AB
所以有AC=AN
有AM-AB=AM-AD=DM(1)
AC-AM=AN-AM=MN(2)
由（1）（2），得
AM-AB=AC-AM
化简，得到AM=1/2(AB+AC)
即 AB+AC=2AM

Answer 2

过C作CE平行于AB，交AM于E,所以角E等于角BAD,进而等于角EAC，所以AC等于CE.又AB等于AD,角B等于角ADB,而角B因为AB平行于CE与角DCE相等,所以角ECD等于角EDC,所以ED等于EC等于AC,所以AB+AC等于AD+CE等于AD+ED等于AE,又CM垂直于AE,CA等于CE,所以AB+AC等于AE等于2AM.