Question

高中立体几何证明题

正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、P、N分别为CD、BB1、A1D1中点，求证AC1垂直于面MPN。
能证明出来吗？我感觉题不对，证不出来

Answer 1

取AC1的中点为O，连接MO、NO、PO；设正方体的棱长为a。则根据题意有
AO=√3a/2,AM=√5a/2=AP=AN,MO=√2a/2=PO=NO,
>>>AM^2=AO^2+MO^2,AP^2=AO^2+PO^2,AN^2=AO^2+NO^2
所以AC1分别和MO、PO和NO垂直；
所以AC1垂直平面MON、MOP和NOP
因此平面MON、MOP和NOP互相平行，因此这三个平面重合于平面MNP
所以AC1垂直于面MPN

Answer 2

解：以A为原点，AB为X轴，AD为Y轴，AA‘为Z轴，建立空间直角坐标系。设正方形的边长为(任意常数)
然后求出A,C1，M,N,P,各点的坐标。
再求出AC1 ，MN , MP ,NP ,的向量
因为AC1乘以MN , MP ,NP ,的向量等于0
所以AC1垂直MN , MP ,NP
所以AC1垂直于面MPN

Answer 3

解：以DC为x轴，以DA为y轴，以DD1为z轴，
设正方体棱长为2，N（0，1，2），M（1，0，0）P（2，2，1）A（0，2，0）C1（2，0，2）
则MN=（-1，1，2）MP=（1，2，1）AC1=（2，-2，2）
MN。AC1=0，MP。AC1=0，AC1垂直MN，AC1垂直MP，则由线面垂直判定，结论成立

Answer 4

（给一个不用勾股定理的证明）

取A1B1的中点Q、BC的中点R和CC1的中点S。

设NQ与B1C1所在直线交于X，RP与B1C1所在直线交于X'，则不难验证，X与X'均在C1B1延长线上，且B1X=B1X'=(1/2)B1C1，即X=X'。从而NQ与RP所在直线相交，即，N、Q、P、R四点共面。同理可以推出，实际上M、N、P、Q、R、S六点共面。

另一方面，NQ与AA1、A1C1分别垂直，于是NQ与面AA1C1垂直，从而NQ与AC1垂直。同理，QP与AC1垂直。因此，AC1与面MPN上的两条相交直线分别垂直，从而AC1与面MPN垂直。