Question

求y=(2x^2-2x-1)/(x^2-x+1)的值域

Answer 1

给y=(2x^2-2x-1)/(x^2-x+1)变形：
yx²－yx+y=2x²－2x-1
(y-2)x²＋（-y+2）x+(y+1)=0
∵x是实数
∴ 上列关于x的一元二次方程有实数根
∴△≥0
即（－y＋2)²－4（y-2)(y+1)≥0
（y-2)(y+2)≤0
∴－2≤y＜2 （由于y＝2时上列方程的二次项系数为0，故取y＜2）
即函数的值域为[-2,2)

Answer 2

y=(2x^2-2x-1)/(x^2-x+1)=(2x^2-2x+2-3)/(x^2-x+1)=2-3/(x^2-x+1)
因为x^2-x+1=（x-1/2）^2+3/4>=3/4
0<3/(x^2-x+1)<=4, -4<=-3/(x^2-x+1)<0 -2 <=2-3/(x^2-x+1)<2
所以y=(2x^2-2x-1)/(x^2-x+1)的值域为[-2,2)