Question

设x=3是函数f（x）=（x 2 +ax+b）e 3-x （x∈R）的一个极值点．（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f

设x=3是函数f（x）=（x 2 +ax+b）e 3-x （x∈R）的一个极值点．（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0， g(x)=( a 2 + 25 4 ) e x ．若存在ξ 1 ，ξ 2 ∈[0，4]使得|f（ξ 1 ）-g（ξ 2 ）|＜1成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=-[x 2 +（a-2）x+b-a]e 3-x ， 由f′（3）=0，得-[3 2 +（a-2）3+b-a]e 3-3 =0，即得b=-3-2a， 则f′（x）=[x 2 +（a-2）x-3-2a-a]e 3-x =-[x 2 +（a-2）x-3-3a]e 3-x =-（x-3）（x+a+1）e 3-x ． 令f′（x）=0，得x 1 =3或x 2 =-a-1， 由于x=3是极值点， 所以x+a+1≠0，那洞碰么猜颤饥a≠-4． 当a＜-4时，x 2 ＞3=x 1 ，则 在区间（-∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 在区间（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数； 在区间（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数． 当a＞-4时，x 2 ＜3=x 1 ，则 在区间（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 在区间（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数； 在区间（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数． （Ⅱ）穗返由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减， 那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]， 而f（0）=-（2a+3）e 3 ＜0，f（4）=（2a+13）e -1 ＞0，f（3）=a+6， 那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[-（2a+3）e 3 ，a+6]． 又 g(x)=( a 2 + 25 4 ) e x 在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a 2 + 25 4 ，（a 2 + 25 4 ）e 4 ]， 由于（a 2 + 25 4 ）-（a+6）=a 2 -a+ 1 4 =（ a- 1 2 ） 2 ≥0， 所以只须仅须（a 2 + 25 4 ）-（a+6）＜1且a＞0， 解得0＜a＜ 3 2 ． 故a的取值范围是（0， 3 2 ）．