Question

已知函数 f(x)＝4x+k?2x+14x+2x+1．若对任意的实数x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立，

已知函数 f(x)＝4x+k?2x+14x+2x+1．若对任意的实数x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立，则实数k的取值范围是（　　）A．0＜k≤3B．1≤k≤4C．?12≤k≤3D．?12≤k≤4

Answer 1

f(x)＝

4x+k?2x+1

4x+2x+1

=

2x+2?x+k

2x+2?x+1

，
令2^x+2^-x=t，则t≥2，
则函数等价为g（t）=

t+k

t+1

＝1+

k?1

t+1

，（t≥2），
则原题等价为对于t≥2，
[2g（t）]_min≥[g（t）]_max恒成立，
①当k=1时，显然成立；
②当k＜1时，

k+2

3

≤f(t)＜1，
由2（

k+2

3

）≥1，得-

1

2

≤k＜1；
③当k＞1时，1＜f（t）≤

k+2

3

，
由2×1≥

k+2

3

，得1＜k≤4，
综上；实数k的取值范围是[-

1

2

，4]．
故选：D．