Question

若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2a+3，（1）当a=3时，计算M与N的值；（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想

若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2a+3，（1）当a=3时，计算M与N的值；（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

（1）当a=3时，M=

3+1

3+2

=

4

5

，N=

3+2

3+3

=

5

6

；                     

（2）方法一：猜想：M＜N
理由：M-N=

a+1

a+2

-

a+2

a+3

=

(a+1)(a+3)?(a+2)2

(a+2)(a+3)

=

?1

(a+2)(a+3)

，
∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，
∴

?1

(a+2)(a+3)

＜0，
∴M-N＜0，∴M＜N；
方法二：猜想：M＜N
理由：

M

N

＝

a+1

a+2

?

a+3

a+2

＝

a2+4a+3

a2+4a+4

，
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a²+4a+3＞0，
∴

a2+4a+3

a2+4a+4

＜1，
∴

M

N

＜1，∴M＜N．